Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

• равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
• ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
• прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
• правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
• каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из условий^[1]:
  • Существует сфера, касающаяся всех ребер.
  • Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
  • Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
  • Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
  • Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные.
  • Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны;
• инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках , , , , равен

Тетраэдры в микромире

• Вода, Лёд, Н₂О
• Молекула метана СН₄
• Молекула аммиака NH₃
• Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.

3

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т.д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр^[2].

Ссылки

1. ↑ В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» №7, 1983 г.
2. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер