Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при:

• подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход, то есть ноль не считается натуральным числом^[1]. Второй подход встречается у некоторых зарубежных авторов — например, он принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Кроме того, отсчёт с нуля широко распространён в программировании (например, для индексации массивов, нумерации битов машинного слова и т. д.).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся натуральное число, большее чем .

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль. Расширенный ряд обозначается^[1] или

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

1. ( является натуральным числом);
2. Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
3. (1 не следует ни за каким натуральным числом);
4. Если и , тогда (если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то );
5. Аксиома индукции. Пусть  — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа . Тогда:

если и , то

(Если некоторое высказывание верно для (база индукции) и для любого при допущении, что верно , верно и (индукционное предположение), то верно для любых натуральных ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.^[2], а также краткое доказательство^[3]), что если и  — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (Определение Фреге-Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Ноль как натуральное число

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют на . В этом случае нуль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулём обозначается как . Если в определение натуральных чисел включен нуль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают . Множество зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают .

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
• Умножение. Множитель × Множитель = Произведение
• Возведение в степень , где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное и остаток от деления на определяются так: , причём . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе можно представить в виде , то есть можно было бы считать частным , а остатком = .

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения.
2. Коммутативность умножения.
3. Ассоциативность сложения.
4. Ассоциативность умножения.
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответственно.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью скобок [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

где  — дизъюнктное объединение множеств,  — прямое произведение,  — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

См. также

• Отрицательное число
• Нуль, Ноль
• Сложение
• Таблица умножения

Примечания