В математике линейным приближением, или линейной аппроксимацией, называют приближение произвольной функции с помощью линейной функции. Применяется для приближенных расчетов и в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию действительного числа f(x) в окрестности точки a. По теореме Тейлора, имеет место равенство:
где — остаточный член.
Линейное приближение g(x) получается в результате игнорирования остаточного члена:
В ближайшей окрестности точки a значения этой функции близки к значениям f(x) и ее можно использовать как замену значений f(x) в приближенных вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от a и равна R2.
Легко заметить, что график функции g(x) — это касательная к графику f(x) в точке a.
Определение линейного приближения легко расширяется для случая векторной функции.
Если p — это точка в Rn и F — дифференцируемая в окрестности p функция, такая что , то ее линейным приближением будет:
где — матрица Якоби функции F.
Линейное приближение.
